8位有符号数的范围为-128 ~ +127，为什么不是 -127 ~ 127，-127 ~ 128等等？

这是一个困惑了我几年的问题，它让我对现在的教科书和老师极其不满！

从我二三十年前开始摸电脑时，就几乎在每一本计算机基础、C语言、C++教科书上都说，8位有符号的取值范围是-128~+127，为什么不是-127~+127呢，后来的java int的聚值范围，在32位计算，-2^31 ~ +2^31-1，可是，却从来没有任何一本教科书或一个老师比我解释过这个问题。 后来在工作上或者是什么地方又没有直接遇到它，所以我也一直忽略它，但心里总是有一根刺，直到刚才，拔出来了！几经周折，终于把它搞清楚了:！

 

其实，-128不是规定的，它是计算机底层为了实现数值运算而决定的，涉及非常非常基础的原码，反码，补码知识，一般(99.9999%)都不会用得上. 那0.0001%，估计也就是计算机考试了

用2^8来表示无符号整数的话，全世界的理解都是0 - 255了，那么对于有符号的数值呢?

用最高位表示符号，0为+，1为-，那么，正常的理解就是 -127 至 +127 了. 

这就是原码了，值得一提的是，原码的弱点，有2个0，即+0和-0，还有就是进行异号相加或同号相减时，比较笨蛋，先要判断2个数的绝对值大小，然后进行加减操作，最后运算结果的符号还要与大的符号相同. 

于是乎，反码产生了，原因....略，反正，没过多久，反码就成为了过滤产物，也就是后来补码出现了. 

 

补码（ two's complement representation ）

计算机中的有符号数有三种表示方法，即 原码、反码、补码

三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理，用加法来替代减法。

整型数据在内存中的存放，是以补码表示的：

1）正数的补码，反码，都与其原码相同

2）负数的补码，将该数的绝对值得二进制形式按位取反再加1

-5 = 1000 0101[原] = 1111 1010[反] + 1 = 1111 1011[补] （计算机内存的都是补码）

根据上面的理论，-5的补码就是256-5=251[1111 1011]，但问题是我们正在解决减法问题，现在计算机还不会做减法，计算机怎么得到[1111 1011]，

于是先辈们发明了一种算法，先得出原码[1000 0101]，然后符号位不变，其余位取反（逻辑非），得到反码[1111 1010]，再加1，得到了[1111 1011]。就是说，原反补码可以跳过计算直接得出2进制码。

 

-128 和 +127

补码的知识不说述，只说有关+127和-128的. 

官方的范围定义 [-2^(n-1)，2^(n-1)-1]，补码的0没有正负之分，即 0 = 0000 0000

原因呢？没有一本书上有说，这也是我这么火的原因，但通过思考，google，再思考，很快找到答案: 

首先，难不免干点白痴般地事情，穷举一下

正数，原码跟补码一样

+127， 0111 1111 
+126， 0111 1110 
+125， 0111 1101 
+124， 0111 1100 
+123， 0111 1011 
+122， 0111 1010 
... 
  +4， 0000 0100 
  +3， 0000 0011 
  +2， 0000 0010 
  +1， 0000 0001 
   0， 0000 0000  ( 0 无正负之分 ) 

下面是负数了，值，原码，符号位不变其它取反，+1 

  -1， 1000 0001， 1111 1110， 1111 1111 
  -2， 1000 0010， 1111 1101， 1111 1110 
  -3， 1000 0011， 1111 1100， 1111 1101 
  -4， 1000 0100， 1111 1011， 1111 1100 
  -5， 1000 0101， 1111 1010， 1111 1011 
  -6， 1000 0110， 1111 1001， 1111 1010 
  -7， 1000 0111， 1111 1000， 1111 1001 
  -8， 1000 1000， 1111 0111， 1111 1000 
  -9， 1000 1001， 1111 0110， 1111 0111 
-10， 1000 1010， 1111 0101， 1111 0110 
-11， 1000 1011， 1111 0100， 1111 0101 
-12， 1000 1100， 1111 0011， 1111 0100 
-13， 1000 1101， 1111 0010， 1111 0011 
-14， 1000 1110， 1111 0001， 1111 0010 
-15， 1000 1111， 1111 0000， 1111 0001 
-16， 1001 0000， 1110 1111， 1111 0000 
-17， 1001 0001， 1110 1110， 1110 1111 
... 
-24， 1001 1000， 1110 0111， 1110 1000 
... 
-99， 1110 0011， 1001 1100， 1110 0100 
... 
-124， 1111 1100， 1000 0011， 1111 1101 
-125， 1111 1101， 1000 0010， 1000 0011 
-126， 1111 1110， 1000 0001， 1000 0010 
-127， 1111 1111， 1000 0000， 1000 0001 

看出点什么了没有? 

-128， 1111 1111， 1000 0000， 1000 0000

当然是 

-128， 先略过，再略过， -128 = 1000 0000 ?

1000 0000，那么，它的原码是什么呢? 

从补码求原码的方法跟原码求补码是一样的 

先保留符号位其它求反:  1111 1111， 再加1，就是 1 1000 0000， 超过了8位了 

对，用8位数的原码在这里已经无法表示了，最高位溢出，结果为：

-128 = 1 1000 0000[原] = 1 1111 1111[反] = 1 1000 0000[补] = -128

关键就在这里，补码 1000 0000 为 -128 是不用怀疑的(上面的穷举)， 

那么，回到原码处， -128 的原码和补码，二者都是 1000 0000(超出的自动丢失)， 

1000 0000 在原码表示什么呢? -0， 但补码却规定0没有正负之分 

转换一下思路，看看计算机里，是怎么运算的: 

对于负数，先取绝对值，然后求反，加1

-128 -> 128 -> 1000 0000 -> 0111 1111 -> 1000 0000

现在明确了吧. 

所以， 8位有符号的整数取值范围的补码表示 

1000 0000 到 0000 0000， 再到 0111 1111  即 -128 到 0， 再到 127 ，最终 -128 ~ +127 

 

数值   ，     补码（计算机真实存储的二进制是补码）

127    ，   0111 1111
.....    
5       ，   0000  0101
4       ，   0000  0100
3       ，   0000  0011
2       ，   0000  0010
1       ，   0000  0001
0       ，   0000  0000
-128  ，   1000  0000
-127  ，   1000  0001
-126  ，   1000  0010
....
-3  ，   1111  1101
-2  ，   1111  1110
-1  ，   1111  1111

 

补充说明

“一个n位有符号int型数值，其范围为-2^(n-1) ——2^(n-1) -1”，对于这个问题，很多人都是困惑不已。

其实，导致此情况的根本原因是“人们解决问题时，习惯以人的思维思考问题，但是，计算机本身确实以机器的思维进行处理的”。在这里，就表现为“计算机对数据的处理其实是以‘补码’的形式，而非日常生活中人们进行数学运算所采用的‘原码’的形式”，但是，人们在对“此数值范围”进行处理的时候，却习惯性的采用了“原码作为机器码”。

在历史上，针对“数值”计算，计算机先后采用过3种机器码——原码、反码、补码。

具体表示如下：

1. 原码   最高位为符号位，其余为对应数值的绝对值的二进制数值表示；

2. 反码   最高位为符号位，正数=原码 负数=符号位+原码对应的其他位数取反；

3. 补码   最高位为符号位，正数=原码 负数=反码+1。

其中，符号位“0为+，1为-”。

因为，计算机为数据类型分配了n位，超过n位的数值会被自动舍弃，那么， 就可以发现，现在计算机系统中采用的补码，克服了“原码中存在+0和-0”的情况，仅表现为一个0，（对于8位数据类型，即为8个0，具体推导见转载内容的穷举，-128计算补码时，产生的9位数据11000 0000--补码1000 0000）。

对应而言，8位有符号位数值的范围就成为了“-2^(8-1) ~ 2^(8-1) -1”，即“-128 ~ +127”。

问题的关键就在这里了，“计算机为有符号int型数值分配固定的位数n存储数据，当数据位数大于n时，大于n的位数被自动舍弃”。这就是导致数值范围为“-2^(n-1) ~ 2^(n-1) -1”的原因，从而，也导致了数据范围中“模”概念的产生。

 

原码、反码、补码

补码并不是必须从原码、反码推导出来的编码，只是恰好数值上有取反加一的对应关系。

补码是一种有利计算机实现减法的编码方案，和反码仅有部分的数值对应关系，并不是有原码、反码才能计算补码。

补码的意义在于：按照这样一种编码规则（也就是表示正数、负数和零的约定），我们就可以把减法运算变成正数加负数。

1、原码

机器数的一种简单的表示法，其符号位用0表示正号，用1表示负号，数值一般用二进制形式表示。

2、反码

可由原码得到。如果机器数是正数，则该机器数的反码与原码一样；

如果机器数是负数，则该机器数的反码是对它的原码（符号位除外）各位取反而得到的。

3、补码

可由反码直接得到，由原码间接得到。如果机器数是正数，则该机器数的补码与原码一样；如果机器数是负数，则该机器数的补码是对它的原码（除符号位外）各位取反，并在未位加1而得到的。

“除符号位外”的含义是，在整个运算过程中符号位始终不变，哪怕补码除符号位外全部是1，在末位加1以后，最高位溢出。

 

负数 = [ 1 + 非符号位 ]原 = [ 1 + 非符号位取反 ]反 = [反码+1]补 还是说 [ 1 + 反码非符号位+1 ]补

是否对于1个负数无论是补码还是反码，其符号位都是1 ？

128的原码是？

0的原码是 00000000， 127的原码是0111 1111， -1 的原码是 1 000 0001 ， -2 的原码是 1000 0010 （形式上是-1的原码加1）， -127的原码是 1 111 1111 （形式上是-126的原码加1）；

-128的补码是10000000 这是怎么计算出来的？ -128的源码要如何表示？

0的原码是 00000000（这个基本是肯定的）， -128的原码是 1000 0000 ？

 

拓展知识

1. 模

 “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。

例如，虽然时钟的模=12，但是在时钟的指针并不能真正指向“12点”，“12点”的位置和“0点”是重合的，即12点以0点表示。

换句话说，时钟的范围“0 ~ 11”，则模为12。

n位无符号数值的计量范围0 ～ 2^(n)-1，模=2^(n)；

n位有符号数值，数值范围-2^(n-1) ~ 2^(n-1) -1，则模为2^(n-1)

举例说明，8位无符号数值，二进制模为2^8；8位有符号数值，表示的数值范围为0 ~ 2^8-1

 

2、补码的数值轴

以补码定义式为基础，沿数轴列出典型的真值、原码与补码表示，可清楚了解补码的有关性质

真值、原码、补码的关系，如下图：

(1) 在补码表示中，最高位X0 (符号位)表示数的正负，在形式上与原码相同，即 0正数，1负数。但补码的符号位是数值的一部分，由补码定义式计算而得。例如，负小数补码中X0为 1，这个 1是真值(负)加模 2后产生

(2) 在补码表示中，数 0只有一种表示，[+0]补 =[-0]补 =0.000……0

(3) 负数补码表示的范围比原码稍宽，多一种数码组合。对于定点数，若为纯小数，表示范围为：-1 ~ 1-2-n，若为纯整数，表示范围为：-2n ~ 2n-1

 

补码的意义

补码“模”概念的引入、负数补码的实质、以及补码和真值之间的关系所揭示的补码符号位所具有的数学特征，无不体现了补码在计算机中表示数值型数据的优势，和原码、反码等相比可表现在如下方面 

(1) 解决了符号的表示的问题，方便机器码表达与计算，统一了计算

(2) 可以将减法运算转化为补码的加法运算来实现，克服了原码加减法运算繁杂的弊端，可有效简化运算器的设计 

(3) 在计算机中，利用电子器件的特点实现补码和真值、原码之间的相互转换，非常容易

(4) 补码表示统一了符号位和数值位，使得符号位可以和数值位一起直接参与运算，这也为后面设计乘法器除法器等运算器件提供了极大的方便。

总之，补码概念的引入和当时运算器设计的背景不无关系，从设计者角度，既要考虑表示的数的类型(小数、整数、实数和复数)、数值范围和精确度，又要考虑数据存储和处理所需要的硬件代价。因此，使用补码来表示机器数并得到广泛的应用，也就不难理解了。

 

3. 补码的运算规则

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补

 

 

参考推荐：

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