Byte 8位的范围为何是-128~127，而不是-127~128
一、计算机该怎么做减法
比如 2-1=1，1-1=0 由于种种原因，加法电路难度和成本已经很高了，当时的计算机理论条件下，再去设计一个减法电路，费力又费钱，前辈们想用加法电路来解决减法运算问题。思路如下，熟悉的可以跳过。
假设当前时针指向8点，而准确时间是5点，调整时间可有以下两种拨法：
一是倒拨3小时：8-3=5
二是顺拨9小时：8+9=12+5=5
可以看出在以模为12的系统中，减3和加9效果是一样的，因此减3运算，可以用加9来代替。
对“模”12而言，3和9互为补数（二者相加等于模）
“模”是计量器产生“溢出”的量。
从上面的事例中，我们可以得出结论，即在有模的计量系统中，减一个数等于加上它的补数（可以看下面的实例）。
这就可以将减法运算转化为加法运算，达到用加法电路来解决减法运算的目的。
例如：
减3和加253是一样的，8-3=8+253=256+5=5(对应的二进制数是[0000 0101])
就是说-3用253来表示，可以得到正确结果。这就是计算机做减法的思路。
二、这种算法的结果永远是正数
新的问题是 3-8=3+(256-8)=3+248=251，
显然3-8=-5。这种小的数字减去大的数字该怎么办？
例如：
3-8=3+(256-8)=3+248=251 (对应的二进制码是[1111 1011])
但是很显然，我们想要的是[1111 1011]=-5。
那我们有两种选择：
1）保留这种处理减法的思路，就让[1111 1011]=-5，然后再找其他的二进制码表示251
2）放弃这种处理减法的思路，确认[1111 1011]=251，并且找其他的二进制码表示-5
不管是哪种选择都必须舍弃一个数字，-5和251不能同时存在，有没有发现byte中没有正128，只有-128？
我们可以算一算，-5到-1是5个数，0算一个数，1到251是251个数，总共就有5+1+251=257个数，这可不行。因为8位二进制码最多只能表示256个数，如果-5和251都要表示，就会有257个数（不要少算了0），超出了表示范围。同理，-1和255 只能选一个，-2和254只能选一个，··· ，-128和128也只能选一个。
最终，为了避免2-3=2+(256-3)=255 = 2^8-1 ，即 255 = [1111 1111] 这样的尴尬。
我们确定将[1111 1111]定义为-1，而不是255，同理，[1111 1110]不再是254，定为-2，第一位为符号位，1为负号。
类推下去，0-128=-128，但是按原先的算法，0-128=0+（256-128）=128[1000 0000]，尴尬了，因此128也光荣牺牲了，把[1000 0000]让位给-128，
至此，Java中byte的范围确定为-128~127，而不是-127~128。
三、拓展知识与常见问题
1、字、字节、位
字 word
字节 byte
位 bit
1字节=8位 (1 byte = 8bit)，一个字节的字长是8
1字=2字节 (1 word = 2 byte) ，一个字的字长为16
字节通常简写为“B”，而位通常简写为小写“b”，计算机存储器的大小通常用字节来表示。
字长：计算机的每个字所包含的位数称为字长，计算的字长是指它一次可处理的二进制数字的数目。一般地，大型计算机的字长为32-64位，小型计算机为12-32位，而微型计算机为4-16位。字长是衡量计算机性能的一个重要因素。
bps（ bits per second ），带宽、网络通讯的传输速率都是以「bps」为单位，例如 56Kbps、100.0Mbps
Bps（ Byte per second ），电脑一般都以Bps 显示速度，例如 1Mbps 大约等同 128 KBps
bit，电脑记忆体中最小的单位，在二进位电脑系统中，每一bit 可以代表0 或 1 的数位讯号，正负电极表示
Byte，一个Byte由8 bits 所组成，可代表一个字元(A~Z)、数字(0~9)、或符号(,.?!%&+-*/)，是记忆体储存资料的基本单位，每个中文字和中文符号则须要两 Bytes
bit - Byte - KB - MB - GB - TB - PB - EB - ZB - YB - BB
字节 (Byte) = 8位(bit)
1KB ( Kilobyte，千字节) = 1024B
1MB ( Megabyte，兆字节) = 1024KB
1GB ( Gigabyte，吉字节，千兆) = 1024MB
1TB ( Trillionbyte，万亿字节，太字节) = 1024GB
1PB ( Petabyte，千万亿字节，拍字节) = 1024TB
1EB ( Exabyte，百亿亿字节，艾字节) = 1024PB
1ZB (Zettabyte，十万亿亿字节，泽字节) = 1024EB
1YB ( Yottabyte，一亿亿亿字节，尧字节) = 1024ZB
BB ( Brontobyte，千亿亿亿字节) = 1024YB
信息存储量是度量存储器存放程序和数据的数量。
主要度量单位是字节，1个字节（Byte）等于8位（b）二进制。
位（bit，Binary Digits）：存放一位二进制数，即0或1，为最小的存储单位，8个二进制位为一个字节单位。
一个英文字母（不分大小写）占一个字节的空间，一个中文汉字占两个字节的空间。
英文标点占一个字节，中文标点占两个字节。
2、原码、反码、补码的概念是拿来干什么的？
答：现在唯一的问题是，用户输入-5后，计算机怎么得到[1111 1011]并保存。
计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码、补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用0表示“正”，用1表示“负”，而数值位，三种表示方法各不相同。在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理，用加法来替代减法。
整型数据在内存中的存放，是以补码表示的：
1）正数的补码，和原码相同
2）负数的补码，将该数的绝对值得二进制形式按位取反再加1
-5 = 1000 0101[原] = 1111 1010[反] + 1 = 1111 1011[补] （计算机内存的都是补码）
根据上面的理论，-5的补码就是256-5=251[1111 1011]，但问题是我们正在解决减法问题，现在计算机还不会做减法，计算机怎么得到[1111 1011]，
于是先辈们发明了一种算法，先得出原码[1000 0101]，然后符号位不变，其余位取反（逻辑非），得到反码[1111 1010]，再加1，得到了[1111 1011]。就是说，原反补码可以跳过计算直接得出2进制码。
3、计算机为什么不用原码表示负数？
答：
一是原码的作用本来就不是保存负数，也不保存正数，而是便于我们理解二进制。
二是因为原码做减法得到值是错误的。在减法计算中，2-1=[0000 0010]原+[1000 0001]原 = [1000 0011]原=-3，结果是不正确的。编码不仅要能表示数字，还要求运算结果和10进制不矛盾。
3.1 计算机为什么不用反码表示负数？
答：和原码同理，用反码也不能做减法：
2-1=2+(-1)=[0000 0010]原+[1000 0001]原= [0000 0010]反+[1111 1110]反=[0000 0000]反=[0111 1111]原= 127，并不等于正确结果1。（符号位也参与运算）
注：上面计算转二进制中，遵循了：
1）正数的补码，和原码相同
2）负数的补码，将该数的绝对值得二进制形式按位取反再加1
3.2 补码可以做减法吗？
答：可以
2-1=2+(-1)=[0000 0010]原+[1000 0001]原= [0000 0010]反+[1111 1110]反
= [0000 0010]补+[1111 1111]补 = [0000 0001]补 =1。
就是说只有补码可以做减法，所以计算机中采用补码来表示负数。
注：上面计算转二进制中，遵循了：
1）正数的反码与补码，和原码相同
2）负数的补码，将该数的绝对值得二进制形式按位取反再加1
3、8位二进制补码具体对应的10进制是多少？
答：
补码 .... 对应的实际数值
1000 0000 ... -128
1000 0001 ... -127
... ... ...
1111 1110 ... -2
1111 1111 ... -1
0000 0000 ... 0
0000 0001 ... 1
0000 0010 ... 2
... ... ...
0111 1110 ... 126
0111 1111 ... 127
上面的看不明白？没关系，我们来穷举法，找规律
正数,原码跟补码一样
+127, 0111 1111
+126, 0111 1110
+125, 0111 1101
+124, 0111 1100
+123, 0111 1011
+122, 0111 1010
...
下面是负数了,值,原码,符号位不变其它取反,+1
-10, 1000 1010, 1111 0101, 1111 0110
-11, 1000 1011, 1111 0100, 1111 0101
-12, 1000 1100, 1111 0011, 1111 0100
-13, 1000 1101, 1111 0010, 1111 0011
-14, 1000 1110, 1111 0001, 1111 0010
-15, 1000 1111, 1111 0000, 1111 0001
-16, 1001 0000, 1110 1111, 1111 0000
-17, 1001 0001, 1110 1110, 1110 1111
...
-24, 1001 1000, 1110 0111, 1110 1000
...
-99, 1110 0011, 1001 1100, 1110 0100
...
-124, 1111 1100, 1000 0011, 1111 1101
-125, 1111 1101, 1000 0010, 1000 0011
-126, 1111 1110, 1000 0001, 1000 0010
-127, 1111 1111, 1000 0000, 1000 0001
看出点什么了没有? 反码还差一个二进制 1000 0000
-128, 1 1000 0000, 1 1111 1111, 1 1000 0000 （注：最高位溢出，并不存在，符号位总在第一位1）
由此可见，-128的原码和补码，都是 1000 0000
回顾扩展，0 原码 0000 0000，非负数的原码、反码、补码都相同，都是 0000 0000
总结规律，发现很好玩的，如下：
数值 ， 补码（计算机真实存储的二进制是补码）
127 ， 0111 1111
.....
5 ， 0000 0101
4 ， 0000 0100
3 ， 0000 0011
2 ， 0000 0010
1 ， 0000 0001
0 ， 0000 0000
-128 ， 1000 0000
-127 ， 1000 0001
-126 ， 1000 0010
....
-3 ， 1111 1101
-2 ， 1111 1110
-1 ， 1111 1111
3.1 [1000 0000]补为什么表示-128？（ 强烈推荐 ）
答：上面已经解释了，这里只做验证推理。
[1000 0000]补不管是什么值，[1000 0000]补 + [0000 0001]补 = [1000 0001]补 是恒成立的
补码的原码，跟求原码的补码是一样的，即如下由补码求原码：
[1000 0000]补 = [1111 1111]反 = [1 1000 0000]原 = [1000 0000]原
同理，[1000 0000]原 来计算其补码：
[1000 0000]原 = [1111 1111]反 = [1 1000 0000]原 = [1000 0000]补
注意：符号位 1000 0000 的1一直不变，在二进制的位置总是第一位，第九位是溢出位，其为数值，舍弃。
所以，[1000 0000]补 = [1000 0000]原 = [1000 0000]补，[1000 0000] 是一个很特殊的编码
一步一步转化：
[1000 0000]补+[0000 0001]反（正数原码、反码、补码，三者都相同）= [1000 0000]反
[1000 0000]补+[0000 0001]反 = [1111 1111]反+[0000 0001]反 = [1 1000 0000]反 = [1000 0000]反
再转化：[1000 0000]补 + [0000 0001]原 = [1111 1111]原
[1000 0000]补 + [0000 0001]原 = [1111 1111]反 + [0000 0001]原 = [1000 0000]原 + [0000 0001]原
再转化：[1000 0000]补 + 1 = -127
很明显：[1000 0000]补 = -128
3.2 为什么是-128~127，而不是-127~128了？
答：如果是-127~128了，你会发现0-128=128
非负数有129个，负数只有127个（-1 ~ -127），补码不对称了。
3.3 网上有说因为-128和128同余，所以-128的补码是128，对吗？
答：首要问题不是-128的补码是多少，而是总共只有256个数，-128和128只能选一个，两个都存在不就是257个数了吗？
4、那教材上说原码中出现正0和负0又是怎么回事？
答：国内教材的狗屁理论。
5. 请问8位、16位、32位、64位CPU都是什么时间问世的？
答：CPU处理器8088是准十六位的、是继8086之后推出的，被IBM－PC机选作CPU
1979年6月1日，INTEL发布了 8位的8088微处理器。
1978年6月8日，INTEL发布其 16位微处理器8086。
1985年10月17日，x86系列CPU Intel 80386发布。80386的广泛应用，将PC从16位时代带入了 32位时代。
2003年才以x86-64和64位PowerPC处理器架构的形式引入到个人电脑领域的主流。
8088、8086 微型计算机的区别
1、CPU结构不同
1）8088只有8条数据信号引线。
2）8086有16条数据信号引线。
2、字节数不同
1）8088片内指令预取缓冲器深度只有4字节。
2）8086片内指令预取缓冲器深度为6字节。
段寄存器
一共有4个段地址寄存器，他们是：
CS (code segment register) 16位代码段寄存器
DS (data segment register) 16位数据段寄存器
SS (stack segment register) 16位堆栈段寄存器
ES (extra segment register ) 16为附加段寄存器
有待研究的问题：
1）-128的原码、反码各是多少？
2）计算机不可能懂-5，那我们点击“-”、“5”这两个键，cpu是否直接接受到了-5的源码了？
负数在计算机中的二进制表示
计算机中的有符号数有三种表示方法，即原码、反码、补码
整型数据在内存中的存放，是以补码表示的：
1）正数的补码，和原码相同。
2）负数的补码，将该数的绝对值得二进制形式按位取反再加1。
1、符号位
C语言规定，把内存的最高位作为符号位，0表示正数，1表示负数。
2、原码、反码、补码
在计算机中，正数的补码与原码相同，负数以其正值的补码形式表示
2.1 原码
一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码，例如：6的4字节
00000000 00000000 00000000 00000110 是 6 的原码
2.2 反码
将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。
如 00000000 00000000 00000000 00000110 的反码是 11111111 11111111 11111111 11111001
2.3 补码
补码 = 反码 + 1 （仅限负数，正数补码是其本身）
反码加1称为补码。也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后反码加上1，所得数称为补码。
所以 -6 在计算机器的表示形式为：
# -6 的正值 6 的二进制： 00000000 00000000 00000000 00000110 # 取反得反码： 11111111 11111111 11111111 11111001 # +1 得补码，即 -6 在计算机中的二进制表示： 11111111 11111111 11111111 11111010
简易理解：若模数为256，则负数 -6 取模后的正数值为 -6+256=250
计算机的内存里，存储的都是整数（正数 + 0 + 负数）的补码
补码原理，负数为什么要用补码表示
1、模（Modulo）
In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers “wrap around” upon reaching a certain value—the modulus (plural moduli).
模是指一个计量系统的计数范围，如时钟（12点、24点）、10进制、2进制、16进制、32进制、太极图等。
计算机也是一个计算器，它也是有一个计量范围，即都存在一个“模”。
如时钟的计量范围是0~11，模 = 12
32位计算机的计量范围是2^32，模 = 2^32
“模”是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数，
例如：
12点的余数有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
2进制的余数有 0、1
10进制的余数有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
2、补数
假设当前时针指向11点，而准确时间是8点，调整时间可有以下两种拨法：
1）倒拨3小时：11-3=8
2）顺拨9小时：11+9=12+8=8
在以模为12的系统中，加9和减3效果是一样的，因此凡是减3运算，都可以用加9来代替。对“模”12而言，9和3互为补数（二者相加等于模）。
所以，得出一个结论，即在有模的计量系统中，减一个数等于加上它的补数，从而实现将减法运算转化为加法运算的目的。
从上面的化减法为加法，以及所谓的溢出等等可以看到，“模”可以说就是一个太极，万事万物，阴阳转化，周而复始，无始无终，循环往复。
3、补码原理 （ 强烈推荐 ）
计算机上的补码就是算术里的补数。
设我们有一个 4 位的计算机，则其计量范围即模是 2^4 = 16，所以其能够表示的范围是0~15，现在以计算 5 - 3为例，我们知道在计算机中，加法器实现最简单，所以很多运算最终都要转为加法运算，因此5-3就要转化为加法：
# 按以上理论，减一个数等于加上它的补数，所以 5 - 3 # 等价于 5 + (16 - 3) // 算术运算单元将减法转化为加法 # 用二进制表示则为： 0101 + (10000 - 0011) # 等价于 0101 + ((1 + 1111) - 0011) # 等价于 0101 + (1 + (1111 - 0011)) # 等价于 0101 + (1 + 1100) // 括号内是3（0011）的反码+1，正是补码的定义 # 等价于 0101 + 1101 # 所以从这里可以得到，正数5不变，-3实际用1101表示的，即： -3 = 1101 # 即 `-3` 在计算机中的二进制表示为 `1101`，正是“ -3 的正值 3（`0011`）的补码（`1101`）”。 # 最后一步 0101 + 1101 等于 10010
自己来一遍推演：
1）正数补码
5 = 0101 ，正数补码是其自身，即 5 补码也为 0101
2）负数补码
负数补码 = 负数反码 + 1
-3 = 1011 = 1100[反] + 1 = 1101[补]，成功验证了 -3 补码为 `1101`
最后，因为我们假设的计算机是 4 位的，10010的第一位“溢出”了，所以只保存了 4 位，即 0010，而当计算机去读取时这正是我们所期望的 2
叹为观止吧，天才般的设计！感恩 伏羲、莱布尼兹和冯诺依曼！
参考推荐：
版权所有: 本文系米扑博客原创、转载、摘录，或修订后发表，最后更新于 2020-07-17 05:01:30
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