B 树

即二叉搜索树：

1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（ Left 和 Right ）；

2. 所有结点存储一个关键字；

3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

如：

B 树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

如果 B 树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么 B 树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变 B 树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销； 如：

但 B 树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

右边也是一个 B 树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用 B 树还要考虑尽可能让 B 树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；

实际使用的 B 树都是在原 B 树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持 B 树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在 B 树中插入和删除结点的策略；

B- 树

是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

1. 定义任意非叶子结点最多只有 M 个儿子；且 M>2 ；

2. 根结点的儿子数为 [2, M] ；

3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为 [M/2, M] ；

4. 每个结点存放至少 M/2-1 （取上整）和至多 M-1 个关键字；（至少 2 个关键字）

5. 非叶子结点的关键字个数 = 指向儿子的指针个数 -1 ；

6. 非叶子结点的关键字： K[1], K[2], …, K[M-1] ；且 K[i] < K[i+1] ；

7. 非叶子结点的指针： P[1], P[2], …, P[M] ；其中 P[1] 指向关键字小于 K[1] 的子树， P[M] 指向关键字大于 K[M-1] 的子树，其它 P[i] 指向关键字属于 (K[i-1], K[i]) 的子树；

8. 所有叶子结点位于同一层；

如：（ M=3 ）

B- 树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B- 树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；

2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

3. 搜索有可能在非叶子结点结束；

4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

5. 自动层次控制；

由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有 M/2 个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中， M 为设定的非叶子结点最多子树个数， N 为关键字总数；

所以 B- 树的性能总是等价于二分查找（与 M 值无关），也就没有 B 树平衡的问题；

由于 M/2 的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占 M/2 的结点；删除结点时，需将两个不足 M/2 的兄弟结点合并；

B+ 树

B+ 树是 B- 树的变体，也是一种多路搜索树：

1. 其定义基本与 B- 树同，除了：

2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

3. 非叶子结点的子树指针 P[i] ，指向关键字值属于 [K[i], K[i+1]) 的子树（ B- 树是开区间）；

5. 为所有叶子结点增加一个链指针；

6. 所有关键字都在叶子结点出现；

如：（ M=3 ）

B+ 的搜索与 B- 树也基本相同，区别是 B+ 树只有达到叶子结点才命中（ B- 树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+ 的特性：

1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2. 不可能在非叶子结点命中；

3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

4. 更适合文件索引系统；

B* 树

是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M ，即块的最低使用率为 2/3 （代替 B+ 树的 1/2 ）；

B+ 树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中 1/2 的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针； B+ 树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

B* 树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制 1/3 的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

所以， B* 树分配新结点的概率比 B+ 树要低，空间使用率更高；

小结

B 树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

B- 树：多路搜索树，每个结点存储 M/2 到 M 个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；

所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

B+ 树：在 B- 树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引； B+ 树总是到叶子结点才命中；

B* 树：在 B+ 树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从 1/2 提高到 2/3 ；

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